Índices

La idea de esta entrada esta basada en el blog 4mulafun.

Es importante que nuestros alumnos tengan un cuaderno bien organizado en la asignatura de matemáticas. Cuando les corregimos los cuadernos, solemos encontrarnos páginas y páginas de ejercicios realizados/copiados que, salvo excepciones, no van a ser revisados más tarde. El tiempo y el esfuerzo destinado a rellenar esa cantidad de hojas tiene, por tanto, poca utilidad. Lo peor es que la información importante, como puede ser la parte teórica, distintas fórmulas o errores a evitar, se perderán.

Causualmente, esas excepciones mencionadas antes se corresponden con aquellos alumnos que tienen un cuaderno limpio, organizado, en la que se distinguen cada uno de los temas y apartados, se utilizan distintos colores de bolígrafo y se remarca lo importante. Ese esfuerzo para conseguir un cuaderno organizado se verá reflejado en los exámenes y sus correpondientes notas.

Así que intentemos enseñarles desde pequeños a confeccionar un cuaderno organizado. Para empezar podemos intentar que en la primera hoja de cada tema, nuestros alumnos coloquen un índice. Les entregaremos el siguiente recortable:

Vamos a poder conseguir con estos índices lo siguiente:

• Al pegar en el cuaderno el índice, las primeras páginas de cada tema estarán localizables. Además, el cuaderno quedará claramente dividido en cada uno de ellos.
• Numerando las páginas del cuaderno e indicándolas en el índice, no solo cada tema será localizable, sino que lo será cada apartado, con su teoría y principales ejemplos.

Puedes encontrar un PDF con uno/dos índices por folio en la sección Materiales de la web.

Cuadernos interactivos: definiciones

La idea de esta entrada esta basada en el blog 4mulafun.

Si hay algo que suele marcar la diferencia entre un alumno al que se le dan bien las matemáticas del que se le da menos bien es su cuaderno. 'Las matemáticas no se estudian' es una frase repetida que hay que llegar a comprender cuando revisamos esos cuadernos. Un lugar para el alumno, donde reina cierto orden al día siguiente de haber realizado las actividades, pero que se convierte de una manera mágica en un caos incomprensible cuando llega el momento de estudiar. La teoría que hayan podido apuntar en sus cuadernos, ya les hayamos hecho hincapié en subrayar, enmarcar y señalar con colores fosforitos, queda oculta en un mar de ejercicios, tachones, marcas de tipex y dibujos varios (surgidos de momentos de desconexión, por supuesto).

La idea de 4mulafun es destacar esas definiciones básicas de una manera 'interactiva'. Para debemos recordar esos libros infantiles en los que, además de textos sencillos acompañados de dibujos, aparecían pequeños tiradores que hacían que algún elemento del dibujo se moviese. Para adaptar esto sin caer en algo aparatoso o ridículo, el objetivo es diseñar un recorte como el siguiente:

Escribimos en el centro el concepto que vamos a trabajar. Arriba lo definimos, abajo escribimos algunas de sus propiedades, a la izquierda ponemos unos ejemplos sencillos, y a la derecha los 'no ejemplos' (los típicos errores que se suelen cometer).

Una vez relleno, el recorte se debe doblar por la mitad y pegar una de las mitades traseras al cuaderno. Así, los alumnos saben que allí detrás de ese papel está la teoría, y deben abrirlo como si en su interior hubiese algo importante para ellos (que lo es, pero a veces se les olvida).

El momento de realizar estos recortes es decisión del docente. Puede ser contraproducente llenarles el cuadernos de estos recortes. Y pienso que este método no debe sustituir al habitual, sino complementarlo y, quizás, utilizarlo a modo de repaso, antes de pasar a trabajar otro concepto o, incluso, al finalizar la unidad didáctica.

Puedes encontrar un PDF con dos/cuatro recortes por folio en la sección Materiales de la web.

Otra manera de trabajar las tablas de multiplicar

Memorizar las tablas puede ser un trabajo aburrido y pesado tanto para alumnos como para maestros o profesores. Estar repitiendo la cantinela de las tablas pierde su sentido a la decimocuarta vez. Así que vamos a importar un método que utiliza el profesor Lawrence Ball, allá por tierras londinenses.

El método consiste en hacer mediciones del tiempo que se tarda en rellenar una tabla de multiplicar. Debemos empezar por las más sencillas y hacerlo en orden. Digo en orden, porque tras ver cuánto tiempo tardamos en completar, supongamos la tabla del 2, en el orden habitual (1x2=2, 2x2=4, 3x2=6...), vamos a permutar ese orden para que nuestro cerebro empiece a trabajar.

Aquí tenemos un video en el que nos explica el propio Lawrence (en inglés) una manera de hacerlo.

En la sección Material de la web podrás descargar la versión simplificada en PDF de cada una de las tablas. Una posible forma de llevarlas al aula sería agrupar a los alumnos en parejas homogéneas (mismo nivel de cálculo), entregarles a cada uno una ficha, y, por turnos, uno rellena la primera columna mientras el otro le cronometra, para luego cambiar los papeles. Habrá cinco tandas para competir con cada tabla.

Ecuaciones de un único paso

Los ingleses tienen la capacidad de ponerle nombre a todo. Como bien dice el título de la entrada, la importación de la escuela inglesa de hoy son las ecuaciones de un único paso (one step equation).

Estas ecuaciones son las elementales, las que se resuelven a simple vista, por tanteo (hace poco vi una entrada, pero no recuerdo en qué blog, de unos escolares de 5º y 6 de primaria que resolvían ecuaciones por el método del ensayo-erros).

Cuando los alumnos llegan a 1º de ESO y se encuentran con la gran novedad que es el álgebra para ellos, desconocen que el germen de sus futuros males en nuestra asignatura es no haber aprendido a resolver estas ecuaciones de un único paso. No entro en razones pedagógicas, pero creo que es inútil avanzar en la resolución de ecuaciones, metiendo paréntesis, distintos denominadores, incógnitas por todos lados,..., cuando algunos de nuestros estudiantes no han llegado a interiorizar la base. Es como si, sin que nuestro bebé haya aprendido a andar, ya queramos que compita en carreras con su primo. Y a mi, como novato, se me ha llegado a caer el libro de texto de las manos cuando intento buscar ejercicios para iniciar a mis alumnos y sólo veo esos horrorosos paréntesis llenos de equis que preceden a problemas de peras y manzanas. Me llega a corroer la envidia por esos editores con gran capacidad para transmitir el álgebra básica y sus atentos y capacitados alumnos.  Y mis manos se llenan de tiza (o rotulador) mientras me invento ecuaciones.

Pero lo cierto es que tras dos años (los que me han dejado trabajar), mis alumnos de 1º de ESO tiraban el libro conmigo. Y les pedía a los de 4º que los recogiesen y aprovechasen el esfuerzo para aprender de una vez qué es una ecuación lineal y cómo se resuelve.

Experiencias a parte, las ecuaciones de un único paso llegan a la web con un applet de Geogebra. Estas ecuaciones que llenan páginas y páginas en los libros ingleses, las puedes encontrar desde este enlace.

He intentado que estuviesen las principales formas de presentación de estas ecuaciones, y espero que les sirva.

Importando un método de factorizar

Aprovechando que tengo más tiempo libre que años pasados (gracias a los altos e ineptos cargos), me gusta indagar y encontrar formas distintas de enseñar matemáticas. Estamos acostumbrados a trabajar con nuestros alumnos de una determinada forma, ya sea como nos enseñaron a nosotros cuando éramos alumnos, o siguiendo un determinado algoritmo que viene en el libro de texto. Pero a veces, esta inquebrantable manera de enseñar  no permite a los alumnos disfrutar de nuestra materia. 

En otros países (principalmente de habla inglesa), aunque parezca inimaginable para muchos de nosotros, utilizan ligeras variantes que les funciona. No digo que sean mejores sus métodos o peores los nuestros, pero lo cierto es que habría que probar qué tal funciona en determinados momentos con determinados grupos. Tampoco hablo de hacer la división colocando la caja al revés, porque al fin y al cabo es lo mismo. Como primer ejemplo voy a poner la factorización de polinomios de grado dos.

Supongamos que queremos empezar a trabajar  la factorización en nuestro grupo de 3º ESO. Solemos tener varios mecanismos posibles: sacar factor común, usar las identidades notables, Ruffini o resolver la ecuación. Si conseguimos que los alumnos sepan hacer todo esto sin que les tiemble el pulso es que debemos ser muy buenos. Pero, ¿por qué no empezar con el método de la cruz? Para ello vamos a trabajar con el applet de GeoGebra de la web.

Nos encontramos la siguiente actividad. Tenemos que factorizar el polinomio x²-6x-16 sabiendo que si sale en este applet, sus raíces van a ser enteras. De hecho, las posibles raíces son las que vemos a la izquierda: los números del 1 al 9, positivos o negativos. 

Para trabajar el método de la cruz, basta seguir los tres pasos que aparecen en pantalla. Lo primero es meter en el cuadrado todos los números que sean divisores del término independiente. Entonces, arrastramos todos los divisores de -16, es decir, ±1, ±2, ±4, ±8.

Ahora es cuando entra en juego la cruz. La forma en la que se construye es la que vemos en la imagen: tras trazar la cruz, colocamos arriba el coeficiente del término independiente, y abajo el coeficiente del término de grado uno. Para saber qué colocamos en los laterales, de los números que hemos metido en el cuadrado, buscamos dos que si se multiplican nos dan -16, y si los sumamos nos dan -6. Sí, realmaente estaríamos construyendo un sistema de ecuaciones no lineal, pero no queremos entrar en esto, y nuestros alumnos no tienen por qué asustarse. El siguiente paso es un juego. Este es el momento de probar a la vez que usamos la cabeza. Pensamos y sacamos que las parejas de números que sumen -6 sólo hay dos: -8 con +2, y -4 con -2, siendo la primera la que cumple la segunda condición.

El último paso es arrastrar esos dos números a la factorización final. Podemos comprobar que los hemos hecho bien pulsando sobre Ver solución.

Como vemos, el proceso comparte elementos de la factorización mediante identidades notables e incluso de Ruffini. Sin embargo, en un par de pasos, a modo de pasatiempo, les habremos enseñado otra herramienta de factorización y también de la resolución de ecuaciones de segundo grado.

Así que si tienes la suerte de poder llevar al aula este método de la cruz, me encantaría saber qué tal ha funcionado.